lunes, 22 de febrero de 2016

¿Dónde debe ponerse el tope de una puerta?


Esta es la pregunta que me hice cuando hace tiempo decidí ponerle un tope a una puerta de mi casa para evitar que ésta golpeara la pared. Parece una cosa sin importancia pero no lo es. Es intuitivo darse cuenta de que si ponemos el tope muy cerca del eje de giro de la puerta, donde están las bisagras, el tope sufrirá mucho más que si lo ponemos más lejos, pero si lo ponemos lejos, lo que sufrirán serán las bisagras de la puerta cuando ésta golpee contra el tope. Así que es obvio que existe una distancia óptima donde se compensan los efectos. La Física nos explica que el mejor lugar donde debemos poner el tope es a $\frac{2}{3}$ del ancho de la puerta respecto de su eje de giro.
Ese preciso lugar se llama centro de percusión de la puerta, y es el lugar donde al aplicar una fuerza $F_{x}$, la reacción $F_{0}$ en las bisagras de la puerta es nula y sólo hay momento $M_{0}$. La fuerza $F_{x}$ sería la que ejerce el tope de la puerta cuando ésta le golpea. En la figura observamos que la puerta tiene una anchura $l$ y su centro de masa está en el punto $C$, que por simetría está en el centro, es decir, a una distancia $\frac{l}{2}$ del origen $0$:

Queremos calcular $x$ y para ello basta aplicar el segundo principio de Newton, si suponemos que la masa de la puerta es $m$ tenemos que: \[\Sigma F = m\cdot a_{c}\] donde $\Sigma F$ es la suma de fuerzas implicadas, puesto que queremos que $F_{0} = 0$ entonces $\Sigma F = F_{x}$. Y $a_{c}$ es la aceleración del centro de masa, que se puede expresar en términos de aceleración angular $\alpha$, resultando que: \[F_{x} = m\cdot\alpha\cdot\frac{l}{2}\]
Por otro lado, sabiendo que el momento de inercia de la puerta respecto al origen $0$ es $I_{0} = \frac{m\cdot l^{2}}{3}$, el momento $M_{0}$ es: \[M_{0} = F_{x}\cdot x = I_{0}\cdot\alpha = \frac{m\cdot l^{2}}{3}\cdot\alpha\] luego: \[F_{x}\cdot x = \frac{m\cdot l^{2}}{3}\cdot\alpha \quad\Leftrightarrow\quad \alpha = \frac{3\cdot F_{x}\cdot x}{m\cdot l^{2}}\] como: \[F_{x} = m\cdot\alpha\cdot\frac{l}{2} = m\cdot\frac{3\cdot F_{x}\cdot x}{m\cdot l^{2}}\cdot\frac{l}{2} = \frac{3\cdot F_{x}\cdot x}{2\cdot l}\] resulta que: \[F_{x} = \frac{3\cdot F_{x}\cdot x}{2\cdot l} \quad\Leftrightarrow\quad x = \frac{2\cdot l}{3}\] es decir, que a $\frac{2}{3}$ del ancho de la puerta respecto al eje de giro es donde debemos poner el tope, como habíamos afirmado.
Otra forma de verlo es darse cuenta de que si el lugar donde la fuerza $F_{x}$ que ejerce el tope de la puerta cuando ésta le golpea no genera reacción en las bisagras, sólo momento $M_{0}$, tendremos una rotación pura de la puerta, y cualquier punto de ésta se verá sometida a la misma aceleración angular que dedujimos anteriormente $\alpha = \frac{3\cdot F_{x}\cdot x}{m\cdot l^{2}}$, y como sabemos que el momento de inercia de la puerta respecto al centro de masa es $I_{c} = \frac{m\cdot l^{2}}{12}$ podemos obtener el momento $M_{c}$ en dicho punto: \[M_{c} = F_{x}\cdot\left(x-\frac{l}{2}\right) = I_{c}\cdot \alpha = \frac{m\cdot l^{2}}{12}\cdot \frac{3\cdot F_{x}\cdot x}{m\cdot l^{2}} = \frac{F_{x}\cdot x}{4}\] luego: \[F_{x}\cdot\left(x-\frac{l}{2}\right) = \frac{F_{x}\cdot x}{4} \quad\Leftrightarrow\quad x = \frac{2\cdot l}{3}\] es decir, llegamos al mismo resultado que antes, como cabría esperar.
El lugar donde debemos poner el tope es el centro de percusiones de la puerta. Este concepto parece extraño pero todos lo conocemos por experiencia. En efecto, ¿quién no ha golpeado con una raqueta una pelota alguna vez? Si lo has probado, habrás notado cuando le has golpeado bien, porque la pelota sale disparada con toda la fuerza con que le das y en tu muñeca no sientes ningún golpeteo. Eso es porque la pelota es golpeada en el centro de percusiones de la raqueta y en tu muñeca no hay ninguna reacción. La pelota es el tope, la raqueta es la puerta y tu muñeca la bisagra. Otro ejemplo, es cuando usamos un martillo, con cada golpe que damos buscamos empuñar el martillo por el sitio que nos resulta más cómodo, aquel que no nos hace daño en la muñeca al golpear, vamos tanteando por donde empuñarlo hasta que golpeamos sin notar la reacción, el lugar del mango por donde acabamos empuñándolo es justo el centro de giro que hace que la cabeza del martillo que golpea coincida con el centro de percusión.

2 comentarios:

  1. Que interesante. Como OS gusta cacharrear!!!
    Como cuan erais pequeños.

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  2. Que interesante. Como OS gusta cacharrear!!!
    Como cuan erais pequeños.

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