La fecha del fin del mundo... (según alguien que creías conocer)

Todos hemos oído de fechas del fin del mundo. El calendario mesoamericano terminaba en el solsticio de 2012, algo que fue interpretado en nuestro tiempo (no por los mayas precisamente) como la fecha del fin del mundo, cuando en el fondo no significaba nada más que "compra un calendario nuevo que este ya se ha terminado".

Pero lo que casi nadie ha oído es la fecha del fin del mundo que predijo... Newton. Y es que Newton, considerado uno de los padres de la matemática y la física fue también un alquimista y un estudioso de la biblia. De hecho escribió más sobre teología que sobre asuntos científicos.

De su estudio de la biblia llegó a enunciar que nuestro mundo no terminará antes de 2060. No están claras las convicciones reales de Newton con estas profecías, pero desde luego lo estudió y lo calculó. El cálculo lo hizo aplicando citas de la biblia que hablan de fechas del juicio final sobre eventos reales, por ejemplo, en el libro profético del antiguo testamento de Daniel, en el capítulo 8, se comenta un plazo de 2300 días (se interpreta como años) desde el alzamiento de un nuevo reinado, asociado a los símbolos de un cuerno y una cabra. Enganchando estas fechas con eventos reales del imperio romano y otros indicios Newton dedujo algunas franjas de tiempo para el fin del mundo:

• 2132 - 2370
• 2060 - ¿?
• 2090 - 2374

En cualquiera de estos tres intervalos 2060 es la fecha mínima. Evidentemente no deja de ser una anécdota, pero es un claro reflejo de que la personalidad de Newton fue mucho más compleja que la faceta que ha quedado en nuestras conciencias asociada a la gravedad, la óptica, la mecánica, la matemática, etc.


Manuscrito de Newton done al final resume las tres franjas temporales posibles para el fin del mundo.

el número e

Hay algunos números especiales en matemáticas, como el número $\pi=3.14159...$ Pero hay otro número que aparece masivamente en matemáticas y en física, el número $e=2.71828...$

Su nombre está ligado a Euler, aunque realmente fue descubierto por Jacob Bernoulli analizando el interés financiero compuesto. En su estudio analizó que si por ejemplo invertimos un euro a un interés del 100% anual, tendremos 2 euros a final de año. Pero si, con el mismo % de interés, hubiera dos pagas del 50%, a mitad de año tendríamos 1,5 y a final de año 2,25. Si hubiera 3 pagas, cada una con el 33% de interés entonces recibiríamos 1,33 €, 1,77 € y 2,37 €... Si fueran cuotas mensuales a final de año tendríamos 2,61 €, y si hubiera una cuota diaria a final de año tendríamos 2,714 €. Si hiciésemos cuotas por horas, minutos, segundos... hasta el infinito a final de año tendríamos 2,718281... €, que es el número e.

Esta manera de entender el número e implica la serie numérica:
\[e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\]

El número $\pi$ tiene una interpretación muy intuitiva, la razón entre la circunferencia y su diámetro. Pero ¿cuál es la interpretación del número e? Una de ellas es que la única función que cambia igual que sí misma (es igual a su derivada, y a cualquier derivada de cualquier orden) es el número $e^x$. Esto en términos cotidianos significa que si vamos conduciendo en un coche y nos movemos a velocidad exponencial entonces nuestro indicador de velocidad se moverá a la vez que el indicador de distancia, de aceleración, de doble aceleración, triple aceleración, etc.

Desarrollando por taylor esta función también podemos expresar el número e como una serie numérica :
\[e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\]

El número e también aparece en el entorno de la estadística. La distribución de las cosas aleatorias suele ser basada en una campana de gauss, que se formula con el número e. Hay también una forma simple de verlo: supongamos que colocamos una dama en cada escaque de un tablero de ajedrez, de manera que esté lleno. Y ahora lo desordenamos recolocando las fichas al azar, de modo que es posible que alguna caiga encima de otra. Pensemos en que tiramos las fichas al aire y dejamos que caigan sobre el tablero de modo aleatorio. El número de escaques que quedasen libres sería la inversa de e.

Hay una fórmula, probablemente una de las fórmulas más bonitas de las matemáticas, que relaciona el número pi y el número e, que involucra también al número i (número "imaginario" igual a la raiz de -1):
\[e^{i\pi}+1=0\]

Aunque esta fórmula suene muy extraña, dado que sabemos descomponer el número e como un límite (gracias al interés compuesto de Jacob Bernuilli) podemos calcular numéricamente dicho límite para $e^{i\pi}$ y comprobar al fórmula previa. En el siguiente gráfico se ve la convergencia del límite de Bernuilli para $e^{i\pi}$, y se puede comprobar que tiende a -1.

\[e^{i\pi}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{i\pi}{n}\right)^n =-1\]

En esta página hay una fabulosa explicación de esta fórmula: https://www.youtube.com/watch?v=-dhHrg-KbJ0

Esta última ecuación relaciona la exponencial imaginaria con giros en el plano complejo, que es otra de las interpretaciones del número e:
\[e^{i\alpha}=cos(\alpha)+i sen(\alpha)\]

De hecho $e^{ix}$ es la única función que mantiene invariante su módulo, y además es igual a 1,  por lo que también mantiene el módulo de aquello a lo que multiplica. Esto es muy importante, porque en el mundo físico de la mecánica cuántica, los únicos operadores que mantienen invariantes las probabilidades físicas son los operadores unitarios, que vienen a ser operadores del tipo $e^{iA}$, y de hecho se pueden encontrar las analogías en estos operadores de las transformaciones básicas de traslación espacial, traslación temproal y rotaciones, que dan lugar a deducciones como que la cantidad de movimiento debe conservarse, la energía debe conservarse y el momento angular debe conservarse, respectivamente.

¿Dónde debe ponerse el tope de una puerta?

Esta es la pregunta que me hice cuando hace tiempo decidí ponerle un tope a una puerta de mi casa para evitar que ésta golpeara la pared. Parece una cosa sin importancia pero no lo es. Es intuitivo darse cuenta de que si ponemos el tope muy cerca del eje de giro de la puerta, donde están las bisagras, el tope sufrirá mucho más que si lo ponemos más lejos, pero si lo ponemos lejos, lo que sufrirán serán las bisagras de la puerta cuando ésta golpee contra el tope. Así que es obvio que existe una distancia óptima donde se compensan los efectos. La Física nos explica que el mejor lugar donde debemos poner el tope es a $\frac{2}{3}$ del ancho de la puerta respecto de su eje de giro.
Ese preciso lugar se llama centro de percusión de la puerta, y es el lugar donde al aplicar una fuerza $F_{x}$, la reacción $F_{0}$ en las bisagras de la puerta es nula y sólo hay momento $M_{0}$. La fuerza $F_{x}$ sería la que ejerce el tope de la puerta cuando ésta le golpea. En la figura observamos que la puerta tiene una anchura $l$ y su centro de masa está en el punto $C$, que por simetría está en el centro, es decir, a una distancia $\frac{l}{2}$ del origen $0$:

Queremos calcular $x$ y para ello basta aplicar el segundo principio de Newton, si suponemos que la masa de la puerta es $m$ tenemos que: \[\Sigma F = m\cdot a_{c}\] donde $\Sigma F$ es la suma de fuerzas implicadas, puesto que queremos que $F_{0} = 0$ entonces $\Sigma F = F_{x}$. Y $a_{c}$ es la aceleración del centro de masa, que se puede expresar en términos de aceleración angular $\alpha$, resultando que: \[F_{x} = m\cdot\alpha\cdot\frac{l}{2}\]
Por otro lado, sabiendo que el momento de inercia de la puerta respecto al origen $0$ es $I_{0} = \frac{m\cdot l^{2}}{3}$, el momento $M_{0}$ es: \[M_{0} = F_{x}\cdot x = I_{0}\cdot\alpha = \frac{m\cdot l^{2}}{3}\cdot\alpha\] luego: \[F_{x}\cdot x = \frac{m\cdot l^{2}}{3}\cdot\alpha \quad\Leftrightarrow\quad \alpha = \frac{3\cdot F_{x}\cdot x}{m\cdot l^{2}}\] como: \[F_{x} = m\cdot\alpha\cdot\frac{l}{2} = m\cdot\frac{3\cdot F_{x}\cdot x}{m\cdot l^{2}}\cdot\frac{l}{2} = \frac{3\cdot F_{x}\cdot x}{2\cdot l}\] resulta que: \[F_{x} = \frac{3\cdot F_{x}\cdot x}{2\cdot l} \quad\Leftrightarrow\quad x = \frac{2\cdot l}{3}\] es decir, que a $\frac{2}{3}$ del ancho de la puerta respecto al eje de giro es donde debemos poner el tope, como habíamos afirmado.
Otra forma de verlo es darse cuenta de que si el lugar donde la fuerza $F_{x}$ que ejerce el tope de la puerta cuando ésta le golpea no genera reacción en las bisagras, sólo momento $M_{0}$, tendremos una rotación pura de la puerta, y cualquier punto de ésta se verá sometida a la misma aceleración angular que dedujimos anteriormente $\alpha = \frac{3\cdot F_{x}\cdot x}{m\cdot l^{2}}$, y como sabemos que el momento de inercia de la puerta respecto al centro de masa es $I_{c} = \frac{m\cdot l^{2}}{12}$ podemos obtener el momento $M_{c}$ en dicho punto: \[M_{c} = F_{x}\cdot\left(x-\frac{l}{2}\right) = I_{c}\cdot \alpha = \frac{m\cdot l^{2}}{12}\cdot \frac{3\cdot F_{x}\cdot x}{m\cdot l^{2}} = \frac{F_{x}\cdot x}{4}\] luego: \[F_{x}\cdot\left(x-\frac{l}{2}\right) = \frac{F_{x}\cdot x}{4} \quad\Leftrightarrow\quad x = \frac{2\cdot l}{3}\] es decir, llegamos al mismo resultado que antes, como cabría esperar.
El lugar donde debemos poner el tope es el centro de percusiones de la puerta. Este concepto parece extraño pero todos lo conocemos por experiencia. En efecto, ¿quién no ha golpeado con una raqueta una pelota alguna vez? Si lo has probado, habrás notado cuando le has golpeado bien, porque la pelota sale disparada con toda la fuerza con que le das y en tu muñeca no sientes ningún golpeteo. Eso es porque la pelota es golpeada en el centro de percusiones de la raqueta y en tu muñeca no hay ninguna reacción. La pelota es el tope, la raqueta es la puerta y tu muñeca la bisagra. Otro ejemplo, es cuando usamos un martillo, con cada golpe que damos buscamos empuñar el martillo por el sitio que nos resulta más cómodo, aquel que no nos hace daño en la muñeca al golpear, vamos tanteando por donde empuñarlo hasta que golpeamos sin notar la reacción, el lugar del mango por donde acabamos empuñándolo es justo el centro de giro que hace que la cabeza del martillo que golpea coincida con el centro de percusión.