Su nombre está ligado a Euler, aunque realmente fue descubierto por Jacob Bernoulli analizando el interés financiero compuesto. En su estudio analizó que si por ejemplo invertimos un euro a un interés del 100% anual, tendremos 2 euros a final de año. Pero si, con el mismo % de interés, hubiera dos pagas del 50%, a mitad de año tendríamos 1,5 y a final de año 2,25. Si hubiera 3 pagas, cada una con el 33% de interés entonces recibiríamos 1,33 €, 1,77 € y 2,37 €... Si fueran cuotas mensuales a final de año tendríamos 2,61 €, y si hubiera una cuota diaria a final de año tendríamos 2,714 €. Si hiciésemos cuotas por horas, minutos, segundos... hasta el infinito a final de año tendríamos 2,718281... €, que es el número e.
Esta manera de entender el número e implica la serie numérica:
\[e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\]
El número $\pi$ tiene una interpretación muy intuitiva, la razón entre la circunferencia y su diámetro. Pero ¿cuál es la interpretación del número e? Una de ellas es que la única función que cambia igual que sí misma (es igual a su derivada, y a cualquier derivada de cualquier orden) es el número $e^x$. Esto en términos cotidianos significa que si vamos conduciendo en un coche y nos movemos a velocidad exponencial entonces nuestro indicador de velocidad se moverá a la vez que el indicador de distancia, de aceleración, de doble aceleración, triple aceleración, etc.
Desarrollando por taylor esta función también podemos expresar el número e como una serie numérica :
\[e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\]
El número e también aparece en el entorno de la estadística. La distribución de las cosas aleatorias suele ser basada en una campana de gauss, que se formula con el número e. Hay también una forma simple de verlo: supongamos que colocamos una dama en cada escaque de un tablero de ajedrez, de manera que esté lleno. Y ahora lo desordenamos recolocando las fichas al azar, de modo que es posible que alguna caiga encima de otra. Pensemos en que tiramos las fichas al aire y dejamos que caigan sobre el tablero de modo aleatorio. El número de escaques que quedasen libres sería la inversa de e.
Hay una fórmula, probablemente una de las fórmulas más bonitas de las matemáticas, que relaciona el número pi y el número e, que involucra también al número i (número "imaginario" igual a la raiz de -1):
\[e^{i\pi}+1=0\]
Aunque esta fórmula suene muy extraña, dado que sabemos descomponer el número e como un límite (gracias al interés compuesto de Jacob Bernuilli) podemos calcular numéricamente dicho límite para $e^{i\pi}$ y comprobar al fórmula previa. En el siguiente gráfico se ve la convergencia del límite de Bernuilli para $e^{i\pi}$, y se puede comprobar que tiende a -1.
\[e^{i\pi}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{i\pi}{n}\right)^n =-1\]
En esta página hay una fabulosa explicación de esta fórmula: https://www.youtube.com/watch?v=-dhHrg-KbJ0
Esta última ecuación relaciona la exponencial imaginaria con giros en el plano complejo, que es otra de las interpretaciones del número e:
\[e^{i\alpha}=cos(\alpha)+i sen(\alpha)\]
De hecho $e^{ix}$ es la única función que mantiene invariante su módulo, y además es igual a 1, por lo que también mantiene el módulo de aquello a lo que multiplica. Esto es muy importante, porque en el mundo físico de la mecánica cuántica, los únicos operadores que mantienen invariantes las probabilidades físicas son los operadores unitarios, que vienen a ser operadores del tipo $e^{iA}$, y de hecho se pueden encontrar las analogías en estos operadores de las transformaciones básicas de traslación espacial, traslación temproal y rotaciones, que dan lugar a deducciones como que la cantidad de movimiento debe conservarse, la energía debe conservarse y el momento angular debe conservarse, respectivamente.
Me ha encantado, sobre todo la de aplicar la fórmula del límite igualmente para el caso de exponente imaginario. Del número e se podrían escribir libros enteros. A mí me gusta especialmente la interpretación de un problema de optimización geométrica que establece que le número de partes en que debe dividirse un segmento para que el producto de las longitudes de esas partes sea el máximo posible es 1/e. El inverso del número e, 1/e, aparece por doquier en problemas de estadística como el que citas del ajedrez aunque siendo precisos no es que el número de escaques que quedan libres es 1/e, deberías poner que el número de escaques que quedan libres se aproxima a 1/e, para que fuera 1/e el tablero debería tener infinitos escaques. Un problema análogo es colocar de manera ordenada n bolas numeradas de 1 a n en un casillero numerado de 1 a n, y determinar que probabilidad hay de que al colocarlas al azar ninguna bola ocupara su sitio de orden numérico, esta probabilidad se aproxima a 1/e, pero no es 1/e, harían falta infinitas bolas para que fuera 1/e, si bien es cierto que a partir de 10 bolas la probabilidad es casi 1/e. No es lugar para demostrarlo un comentario pero invito al lector a intentarlo no tiene más que calcular cuántas permutaciones de n elementos hay que ningún elemento ocupe su lugar de orden y para eso puede utilizarse el Principio de Inclusión-Exclusión de la Teoría Combinatoria.
ResponderEliminarEfectivamente hay muchas afirmaciones que sólo son válidas en el límite. Por favor, ¿podrías desarrollar la idea de la optimización geométrica que comentas? Suena interesante pero no termino de entenderlo. Un segmento partido en dos tendrá un producto de longitudes de 1/2*1/2, partido en tres será de 1/27... no encuentro esa tendencia a 1/e.
EliminarSí, mira, hay que abstraer el concepto de dividir, ¿por qué dividir sólo por números naturales? Si un segmento de longitud unidad lo divides en x partes iguales y buscas máximizar su producto, quieres calcular para que valor de x la función y=(1/x)^x alcanza su máximo, ya está. Puedes encontrar los detalles de esto y de lo que decía en mi comentario aquí:
Eliminarhttp://www.dekaedra.com/download/numeroe.pdf