Hay algunos números especiales en matemáticas, como el número $\pi=3.14159...$ Pero hay otro número que aparece masivamente en matemáticas y en física, el número $e=2.71828...$
Su nombre está ligado a Euler, aunque realmente fue descubierto por Jacob Bernoulli analizando el interés financiero compuesto. En su estudio analizó que si por ejemplo invertimos un euro a un interés del 100% anual, tendremos 2 euros a final de año. Pero si, con el mismo % de interés, hubiera dos pagas del 50%, a mitad de año tendríamos 1,5 y a final de año 2,25. Si hubiera 3 pagas, cada una con el 33% de interés entonces recibiríamos 1,33 €, 1,77 € y 2,37 €... Si fueran cuotas mensuales a final de año tendríamos 2,61 €, y si hubiera una cuota diaria a final de año tendríamos 2,714 €. Si hiciésemos cuotas por horas, minutos, segundos... hasta el infinito a final de año tendríamos 2,718281... €, que es el número e.
Esta manera de entender el número e implica la serie numérica:
\[e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\]
El número $\pi$ tiene una interpretación muy intuitiva, la razón entre la circunferencia y su diámetro. Pero ¿cuál es la interpretación del número e? Una de ellas es que la única función que cambia igual que sí misma (es igual a su derivada, y a cualquier derivada de cualquier orden) es el número $e^x$. Esto en términos cotidianos significa que si vamos conduciendo en un coche y nos movemos a velocidad exponencial entonces nuestro indicador de velocidad se moverá a la vez que el indicador de distancia, de aceleración, de doble aceleración, triple aceleración, etc.
Desarrollando por taylor esta función también podemos expresar el número e como una serie numérica :
\[e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\]
El número e también aparece en el entorno de la estadística. La distribución de las cosas aleatorias suele ser basada en una campana de gauss, que se formula con el número e. Hay también una forma simple de verlo: supongamos que colocamos una dama en cada escaque de un tablero de ajedrez, de manera que esté lleno. Y ahora lo desordenamos recolocando las fichas al azar, de modo que es posible que alguna caiga encima de otra. Pensemos en que tiramos las fichas al aire y dejamos que caigan sobre el tablero de modo aleatorio. El número de escaques que quedasen libres sería la inversa de e.
Hay una fórmula, probablemente una de las fórmulas más bonitas de las matemáticas, que relaciona el número pi y el número e, que involucra también al número i (número "imaginario" igual a la raiz de -1):
\[e^{i\pi}+1=0\]
Aunque esta fórmula suene muy extraña, dado que sabemos descomponer el número e como un límite (gracias al interés compuesto de Jacob Bernuilli) podemos calcular numéricamente dicho límite para $e^{i\pi}$ y comprobar al fórmula previa. En el siguiente gráfico se ve la convergencia del límite de Bernuilli para $e^{i\pi}$, y se puede comprobar que tiende a -1.
\[e^{i\pi}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{i\pi}{n}\right)^n =-1\]
En esta página hay una fabulosa explicación de esta fórmula:
https://www.youtube.com/watch?v=-dhHrg-KbJ0
Esta última ecuación relaciona la exponencial imaginaria con giros en el plano complejo, que es otra de las interpretaciones del número e:
\[e^{i\alpha}=cos(\alpha)+i sen(\alpha)\]
De hecho $e^{ix}$ es la única función que mantiene invariante su módulo, y además es igual a 1, por lo que también mantiene el módulo de aquello a lo que multiplica. Esto es muy importante, porque en el mundo físico de la mecánica cuántica, los únicos operadores que mantienen invariantes las probabilidades físicas son los operadores unitarios, que vienen a ser operadores del tipo $e^{iA}$, y de hecho se pueden encontrar las analogías en estos operadores de las transformaciones básicas de traslación espacial, traslación temproal y rotaciones, que dan lugar a deducciones como que la cantidad de movimiento debe conservarse, la energía debe conservarse y el momento angular debe conservarse, respectivamente.
